Aplicación del álgebra matricial para la solución de sistemas de ecuaciones lineales

Método de Cramer

El método de Cramer proporciona la solución de sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados, ósea con una única solución mediante el calculo de determinantes. Se trata de un método muy rápido para resolver sistemas, sobre todo, para sistemas de dimensión 2x2 y 3x3. Para dimensiones mayores es más difícil este método.

Consideremos el sistema de ecuaciones: 

En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz  es una matriz cuadrada, entonces.

Método de Gauss.

El método de Gauss consiste en transformar una matriz en una matriz escalonada, ósea una matriz triangular superior o inferior, para esto es esencial usar el método de reducción.

Consideremos el sistema de ecuaciones.

Multiplicamos la primer fila por -3 y le sumamos la segunda fila.

Multiplicamos la primer fila por 2 y le sumamos la tercer fila.

Como resultado tenemos

Multiplicamos la segunda fila por 3, la tercer fila por 5 y las sumamos.

Solucionamos la tercer fila para obtener "z"

z = 24/8

z = 3

Sustituimos "z" en la segunda ecuación para obtener "y"

-5y -4(3) = -2

        -5y = 10

           y = 10/-5

           y = -2

Sustituimos "z" y "y" en la tercer ecuación para obtener "x"

x + (-2) + 3 = 2

                x = 2 - 1

                X = 1

Método de Gauss-Jordan.

Es un algoritmo que se usa para determinar la inversa de una matriz y las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones lineales. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior o inferior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz identidad.

 

Preguntas del foro.

a. ¿Cuál de los métodos es el más indicado para resolver un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas y por qué?

Es mejor usar el método de Gauss ya que este solo consiste en cambiar una matriz a una matriz triangular, y no importa la dimensión de la matriz como el método de Cramer que si se tiene una dimensión muy grande el proceso es más difícil.

b. ¿Qué ventaja tiene resolver un sistema de ecuaciones dos por dos con el método de determinantes?

La ventaja de usar este método es que si el determinante principal es igual a cero, entonces podemos concluir inmediatamente que el sistema de ecuaciones lineal no tiene una solución única. Y por ende sabremos que es posible que no tenga solución, como es posible que tenga un número infinito de soluciones.

c. Enumere al menos tres métodos para calcular un determinante.

Regla de Sarrus: Dada una matriz cuadrada para poder calcular el determinante debemos escribir la matriz y junto a él a su derecha se repiten sus dos primeras columnas; calculamos los seis productos indicados por las flechas, poniendo signo menos antes de los productos con flechas que apuntan hacia arriba y efectuamos la suma.

Método de chió: El objetivo del método de Chió es reducir el determinante de orden n a otro de orden n-1 en cada interacción.

1. Escoger en el determinante un pivote de valor 1. Si no hay ninguno se aplican operaciones entre filas hasta hallarlo.

2. Se establece a que fila y columna pertenece el elemento pivote.

3. Se obtiene un determinante de menor orden.

4. Al determinante resultante se le aplican nuevamente los pasos anteriores hasta obtener un determinante de orden 2.

El método de Cramer: Este sirve para sistemas de ecuaciones lineales en donde dos condiciones las cuales son:

El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.